Regel von L'Hôpital - Definition und Bedeutung

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Die Regel von L'Hospital ermöglicht in der Mathematik die Berechnung bestimmter Grenzwerte.

Wenn in einem Bruch f(x)/g(x) an einer bestimmten Grenze x→s (wobei s eine beliebige Zahl, aber ebenso plus oder minus Unendlich sein kann) der Grenzwert von f(x) und von g(x) für x->s existiert und Null oder Unendlich ist, kann man den Grenzwert des Bruchs berechnen, indem man wie auch im Zähler als ebenso im Nenner die Ableitung nach x an der Stelle s berechnet:

$\lim_{x\to s}{f(x)\over g(x)}=\lim_{x\to s}{f'(x)\over g'(x)}$ .

Die Regel ist benannt nach Guillaume François Antoine, Marquis de L'Hospital (1661-1704; in moderner Schreibweise ebenso de l'Hôpital), der sie aus einem Kurs von Johann Bernoulli übernahm und 1696 im ersten Lehrbuch der Differentialrechnung veröffentlichte.

Beispiele

(0:0): $\lim_{x \to 0}{cos(x)-1\over tan(x)} = \lim_{x \to 0}{(cos(x)-1)'\over tan(x)'} = \lim_{x \to 0}{sin(x)\over 1/cos(x)^2}= {sin(0)\over 1/cos(0)^2} = {0\over 1} = 0$

(0:0): $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1} = \frac{1}{1} = 1$

(∞/∞): $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\ln(x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}}}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2} = \infty$

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