O. B. d. A. - Definition und Bedeutung

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O. B. d. A. ist eine in mathematischen Beweisen vorkommende Formulierung in der Bedeutung Ohne Beschränkung der Allgemeinheit. Es wird verwendet, wenn angegeben werden soll, dass der Beweis nur für einen von mehreren möglichen Fällen geführt wird, dass sich aber die anderen Fälle analog zu dem ersten beweisen lassen.

Beispiel

Ein Anwendungsbeispiel möge dies erläutern.

Satz:
Eine im Intervall

[a, b]

beständige Funktion

f (x)

mit der Eigenschaft

f (a)

f (b) < 0

besitzt in

[a, b]

mindestens eine Nullstelle.

Beweis:
Aus

f (a)

f (b) < 0

folgt, dass

f (a)

und

f (b)

verschiedene Vorzeichen haben. OBdA betrachten wir den Fall

f (a) < 0

und

f (b) > 0

. ... (für diesen Fall folgt nun der Beweis)

Man kann erkennen, dass in dieser Beweisführung der andere Fall "

f (a) > 0

und

f (b) < 0

" ebenso abgedeckt ist, indem man einfach die beiden beliebig gewählten Bezeichner a und b miteinander austauscht.

Beispiel in bekannten Mathematikerwitz

Die unter Mathematikstudenten bekannte Scherzfrage: "Wie fängt ein Mathematiker in der Wüste einen Löwen nur mit einem Käfig?" hat (mindestens) eine Lösung, in der o. B. d. A. vorkommt. Vielleicht ist das intuitiver, als das sehr formale Beispiel oben.

Der Mathematiker verwendet zur Lokalisation des Löwen die fortgesetzte Bisektion, d. h. er halbiert die Wüste solange, bis er den Löwen gefunden hat.

Beweis: Sei die Wüste einmal halbiert. Der Löwe ist nun in einer Hälfte. Sei es o. B. d. A. die Linke. Dann wird die linke Hälfte weiter geteilt. Das Verfahren schreitet so lange fort, bis man den Löwen auf einer handtuchgroßen Fläche lokalisiert hat. Damit ist der Löwe gefunden.

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