P-adische Zahl - Definition und Bedeutung

Für jede Primzahl p bilden die p-adischen Zahlen einen Erweiterungskörper Q_p der rationalen Zahlen, der 1897 erstmals von Kurt Hensel beschrieben wurde.

Diese Körper wurden und werden benutzt, um Probleme in der Zahlentheorie zu lösen, oftmals unter Verwendung des lokal-global-Prinzips von Helmut Hasse, welches vereinfacht gesprochen aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen Q gelöst werden kann, wenn sie über den reellen Zahlen R und allen Q_p gelöst werden kann (was aber nicht so allgemein zutrifft, für die genaue Bedeutung siehe dort). Als metrischer Raum ist Q_p vollständig, und erlaubt so die Entwicklung einer p-adischen Analysis analog zur reellen Analysis.

Ist p eine fest gewählte Primzahl, dann kann jede ganze Zahl geschrieben werden in einer p-adischen Entwicklung (man sagt, die Zahl wird "zur Basis p geschrieben", siehe ebenso Stellenwertsystem) der Form

wobei die a_i Zahlen aus {0,1,...,p - 1} sind. Zum Beispiel ist die 2-adische Entwicklung gerade die Binärdarstellung, und 35 hat die Darstellung 1 * 2⁵ + 0 * 2⁴ + 0 * 2³ + 0 * 2² + 1 * 2¹ + 1 * 2⁰, die häufig mit 100011₂ abgekürzt wird.

Die bekannte Verallgemeinerung dieser Beschreibung auf größere Zahlmengen (rationale und reelle) ist die Zulassung unendlicher Summen dieser Form:

Diese Reihen sind konvergente Partialsummenfolgen bezüglich des gewöhnlichen Absolutbetrags. Man kann dann zum Beispiel 1/3 zur Basis 5 darstellen als Grenzwert der Reihe 0,13131313...₅. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die a_i = 0 ist für alle i < 0.

Alternativ könnte man die Summen am anderen Ende ins Unendliche verlängern, und Reihen dieser Form erhalten:

wobei k eine beliebige ganze Zahl ist. Auf diese Weise erhalten wir den Körper Q_p der p-adischen Zahlen. Diejenigen p-adischen Zahlen, für die a_i = 0 für alle i < 0 ist, heißen p-adische ganze Zahlen. Analog zur gewöhnlichen p-adischen Entwicklung kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben:

Anschaulich besteht also die gewöhnliche p-adische Entwicklung aus Summen, die sich nach rechts fortsetzen mit jederzeitkleineren (negativen) Potenzen von p, und die p-adischen Zahlen haben Entwicklungen, die sich nach links fortsetzen mit jederzeitgrößeren p-Potenzen.

Mit diesen "formalen Laurentreihen in p" kann man rechnen wie mit den gewöhnlichen p-adischen Entwicklungen reeller Zahlen: Addition von rechts nach links mit Ãœbertrag, Multiplikation nach Schulmethode. Beachten muss man nur, dass sich Ãœberträge ins Unendliche fortsetzen können, zum Beispiel ergibt die Addition von ...44444₅ und 1₅ die Zahl 0₅. Das fehlende Vorzeichen ist also wirklich nicht nötig, da ebenso alle negativen Zahlen eine p-adische Darstellung haben. Damit lässt sich ebenso die Subtraktion nach Schulmethode von rechts nach links durchführen, unter Umständen mit einem unendlich oft auftretenden Borgen (man versuche es bei 0₅-1₅=...4444₅). Die Division dagegen wird im Gegensatz zur Schulmethode ebenso von rechts nach links durchgeführt, dadurch wird das Ergebnis nach links fortgesetzt, falls die Division nicht "aufgeht".

Ein technisches Problem ist nun, ob diese Reihen überhaupt sinnvoll sind, d.h. ob sie in irgendeinem Sinne konvergieren. Zwei Lösungen dafür werden nun vorgestellt.

Die reellen Zahlen können konstruiert werden als Vervollständigung der rationalen Zahlen. Sie werden dabei aufgefasst als Äquivalenzklassen von rationalen Cauchy-Folgen. Dies erlaubt uns zum Beispiel, die Zahl 1 als 1,000... zu schreiben, oder als 0,999... - es ist 1,000... = 0,999... in R.

Jedoch hängt schon die Definition einer Cauchy-Folge von der verwendeten Metrik ab, und indem man statt der üblichen euklidischen Metrik, die vom Absolutbetrag erzeugt wird, eine andere Metrik benutzt, erhält man andere Vervollständigungen anstelle der reellen Zahlen.

Für eine fest vorgegebene Primzahl p definieren wir den p-adischen Betrag auf Q: Jede rationale Zahl x außer 0 lässt sich schreiben als x = pⁿ(a / b) mit einer ganzen Zahl n und zwei ganzen Zahlen a,b, die beide nicht durch p teilbar sind. Wir setzen dann | x | _p: = p ^{- n} und | 0 | _p: = 0. Dies ist ein nichtarchimedischer Betrag.

Zum Beispiel ist x=63/550=2 ^{- 1} * 3² * 5 ^{- 2} * 7 * 11 ^{- 1}, damit ist

Durch diese Definition des Betrags | x | _p werden große Potenzen von p "betragsmäßig klein".

Die p-adische Metrik d_p auf Q definiert man nun so:

Damit ist zum Beispiel die Folge (1,5,5²,5³,5⁴,...) in Q bezüglich der 5-adischen Metrik eine Nullfolge, wohingegen die Folge (1,¹ / ₂,¹ / ₄,¹ / ₈,...) beschränkt, aber keine Cauchy-Folge ist, denn für jedes n ist

Die Vervollständigung des metrischen Raums (Q,d_p) ist der metrische Raum Q_p der p-adischen Zahlen, er besteht aus Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen, wobei zwei Cauchy-Folgen äquivalent heißen, wenn die Folge ihrer punktweisen p-adischen Abstände eine Nullfolge ist. Auf diese Weise erhalten wir einen vollständigen metrischen Raum, der (durch die wohldefinierten komponentenweisen Verknüpfungen der Cauchy-Folgen-äquivalenzklassen) ansonsten ein Körper ist, in dem Q enthalten ist.

Da die so definierte Metrik eine Ultrametrik ist, konvergieren Reihen schon dann, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. In diesem Körper sind also die oben erwähnten Reihen der Form

sofort als konvergent zu erkennen, falls k eine ganze Zahl ist und die a_i in {0,1,...,p - 1} liegen. Man kann zeigen, dass sich jedes Element von Q_p als Grenzwert genau einer solchen Reihe darstellen lässt.

Hier wird zuerst der Ring der p-adischen ganzen Zahlen definiert, und danach dessen Quotientenkörper Q_p.

Wir definieren Z_p als projektiven Limes der Ringe Z/pⁿZ (siehe Kongruenz (Zahlentheorie)): Eine p-adische ganze Zahl ist dann eine Folge (a_n) von Restklassen a_n aus Z/pⁿZ, wobei gilt:

Jede ganze Zahl m definiert eine Folge (mmod pⁿ) und kann daher als Element von Z_p aufgefasst werden. Zum Beispiele sähe 35 in Z₂ so aus: (1,3,3,3,3,35,35,35,...).

Die komponentenweise definierte Addition und Multiplikation ist wohldefiniert, da Addition und Multiplikation ganzer Zahlen mit der Restklassenbildung vertauschbar ist. Damit hat jede p-adische ganze Zahl (a_n) die negative Zahl (pⁿ - a_n), und jede Zahl deren erste Komponente a₁ nicht 0 ist, hat ein Inverses, denn in dem Fall sind alle a_n zu pⁿ teilerfremd, haben also ein Inverses b_n modulo pⁿ, und die Folge (b_n) (welche die Kongruenzeigenschaft des projektiven Limes hat) ist dann die Inverse zu (a_n).

Jede p-adische Zahl kann ebenso als Reihe der oben beschriebenen Form (3) dargestellt werden, dabei sind die Partialsummen gerade die Komponenten der Folge. Zum Beispiel kann man die 3-adische Folge (2,8,8,35,35,35,...) ebenso schreiben als 2 + 2 * 3 + 0 * 3² + 1 * 3³ + 0 * 3⁴ + 0 * 3⁵ + ..., oder in der verkürzten Schreibweise als ...001022₃.

Der Ring der p-adischen ganzen Zahlen ist nullteilerfrei, deshalb können wir den Quotientenkörper bilden und erhalten Q_p, den Körper der p-adischen Zahlen. Jedes Element dieses Körpers kann man darstellen in der Form pⁿu, wobei n eine ganze Zahl ist, und u eine invertierbare p-adische ganze Zahl (also mit erster Komponente u₁ ungleich 0). Diese Darstellung ist eindeutig.

Die Menge Q_p der p-adischen Zahlen ist überabzählbar.

Die p-adischen Zahlen enthalten Q und bilden einen Körper der Charakteristik 0. Dieser Körper kann nicht angeordnet werden.

Der topologische Raum Z_p der p-adischen ganzen Zahlen ist kompakt, der Raum aller p-adischen Zahlen ist lokal kompakt. Als metrische Räume sind beide vollständig.

Die reellen Zahlen haben nur eine einzige echte algebraische Erweiterung, die komplexen Zahlen, schon die Adjunktion einer Quadratwurzel ist algebraisch abgeschlossen. Im Gegensatz dazu hat der algebraische Abschluss von Q_p einen unendlichen Erweiterungsgrad. Q_p hat also unendlich viele inäquivalente algebraische Erweiterungen.

(Nebenbei ist der algebraische Abschluss von Q_p nicht vollständig und kann vervollständigt werden zum Körper C_p, der bezüglich seiner Analysis ungefähr den komplexen Zahlen entspricht.)

Die übliche Definition der e-Funktion

konvergiert für alle x mit | x | _p < p ^{- 1 / (p - 1)}. Dieser Konvergenzkreis gilt sogar für alle Erweiterungen von Q_p.

Damit liegt die Eulersche Zahl e: = exp(1) in keinem Q_p, aber e^p liegt in Q_p für alle p > 2, in Q₂ liegt e⁴.

Funktionen von R nach R mit Ableitung 0 sind konstant. Für Funktionen von Q_p nach Q_p gilt dieser Satz nicht, zum Beispiel hat die Funktion

auf ganz Q_p die Ableitung 0, ist aber nicht einmal lokal konstant in 0. Dabei ist die Ableitung analog zum reellen Fall über den Grenzwert der Differenzenquotienten definiert, und die Ableitung in 0 ist

Sind Elemente von , dann gibt es eine Folge (x_n) in Q, so dass für alle p (einschließlich ) der Grenzwert der x_n in Q_p r_p ist. (Diese Aussage wird manchmal Näherungssatz genannt.)

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