Quadratische Gleichung - Definition und Bedeutung

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Unter einer Quadratischen Gleichung versteht man eine mathematische Gleichung mit einer Unbekannten (im Folgenden mit x bezeichnet), die nur positive ganzzahlige Exponenten hat und deren höchster Exponent 2 ist (die also aus Polynomen des Grades 2 aufgebaut ist).

Ein Beispiel ist

$-4 \cdot x^2 + 12 \cdot x + 30 = -10$

Eine übliche Darstellung (Normalform) bringt alle Terme (oder Glieder) der Gleichung auf eine Seite, ordnet sie nach fallendem Exponenten, und dividiert durch den Koeffizienten des quadratischen Terms. Folgende Gleichung ist dann äquivalent zur Obigen:

$x^2 - 3 \cdot x - 10 = 0$

Man spricht vom quadratischen Glied (x²), vom linearen Glied (-3·x) und vom absoluten Glied (-10).

Die Normalform einer quadratischen Gleichung lautet

$x^2 + p \cdot x + q = 0$

mit reellen oder komplexen Zahlen p und q.

Inhaltsverzeichnis

1 Wurzeln (Lösungen) der quadratischen Gleichung

1.1 Lösungsformeln
1.2 Aussagen über die Wurzeln

2 Beispiele

3 Verallgemeinerung (abstrakte Algebra)

4 Weblinks

1 Wurzeln (Lösungen) der quadratischen Gleichung

Nach dem Fundamentalsatz der Algebra besitzt jede quadratische Gleichung (mit reellen oder komplexen Koeffizienten) zwei Wurzeln, ebenso Lösungen genannt. Diese Lösungen, wenn sie für x in die Gleichung eingesetzt werden, erfüllen die Gleichung. Die Wurzeln sind im allgemeinen komplexe Zahlen, und nicht notwendigerweise reelle Zahlen. Wenn man sich auf reelle Wurzeln beschränkt, sind manche quadratischen Gleichungen folglich nicht auflösbar. Außerdem gibt es ebenso den Fall, dass beide Wurzeln gleich sind; man spricht dann von einer doppelten Wurzel. Sind die Koeffizienten reelle Zahlen, dann sind entweder beide Wurzeln reell oder beide nicht reell.

1.1 Lösungsformeln

Zum Finden von Wurzeln einer quadratischen Gleichung kann man die Quadratische Ergänzung benutzen.

Daneben ist die pq-Formel verbreitet (auch kleine Lösungsformel genannt), sie wird im Artikel Quadratische Ergänzung hergeleitet.

Wenn die Gleichung in Normalform als

$x^2 + p \cdot x + q = 0$

geschrieben ist, dann sind die Wurzeln durch

$x_1 = - \frac{p}{2} + \sqrt{ \frac{p^2}{4} - q }$

und

$x_2 = - \frac{p}{2} - \sqrt{ \frac{p^2}{4} - q }$

gegeben.

Allgemein:

$x^2 + p \cdot x + q = 0$

$\Leftrightarrow x_{1,2} = - \frac{p}{2}\pm\sqrt{ \frac{p^2}{4} - q }$

Im obigen Beispiel

$x^2 - 3 \cdot x - 10 = 0$

sind

$x_1 = - (-3/2) + \sqrt{ (3^2/4) + 10 } = 5$

und

$x_2 = - (-3/2) - \sqrt{ (3^2/4) + 10 } = -2$

Mit diesen Wurzeln kann man die quadratische Gleichung ebenso faktorisieren:

$x^2 - 3 \cdot x - 10 = ( x - 5 ) \cdot ( x + 2 )$

Eine allgemeine quadratische Gleichung

$ax^2+bx+c=0, \quad a\neq 0$

hat die Lösungen

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$

(Große Lösungsformel, ebenso abc-Formel genannt, unter Schülern ebenso als "Mitternachtsformel" bekannt.)

Der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen (die Diskriminante D) bestimmt für eine Gleichung mit reellen Koeffizienten, wie viele reelle Lösungen die Gleichung hat. Wenn

· D > 0, dann gibt es 2 reelle Lösungen,
· D = 0, dann gibt es 1 reelle Doppellösung,
· D < 0, dann gibt es keine reelle Lösung.

1.2 Aussagen über die Wurzeln

· Satzgruppe von Vietá
· Das absolute Glied ist gleich dem Produkt der beiden Wurzeln.
· Das lineare Glied ist gleich der Summe der beiden Wurzeln mit verkehrtem Vorzeichen.
· Sind x₁ und x₂ die Wurzeln der Gleichung, dann gilt (x-x₁)(x-x₂)=0

· Ist das absolute Glied positiv, so haben beide Wurzeln gleiches Vorzeichen, sonst verschiedenes Vorzeichen:
· Ist das lineare Glied negativ, sind beide Wurzeln positiv;
· ist dagegen das lineare Glied positiv, sind beide Wurzeln negativ.

· Ist das lineare Glied mit einem Minuszeichen versehen, so hat die betragsmäßig größere Wurzel ein positives Vorzeichen (und umgekehrt).
· Ist das absolute Glied größer als das Quadrat der Hälfte des linearen Gliedes, so hat die Gleichung keine reellen Wurzeln (in dem Fall ist die Diskriminante D negativ).
· Eine quadratische Gleichung hat genau dann zwei ganzzahlige Wurzeln, wenn das absolute Glied ganzzahlig ist und sich als Produkt zweier Faktoren darstellen lässt, deren Summe unter Berücksichtigung der Vorzeichen das lineare Glied ergibt.

2 Beispiele

x² + 12·x + 20	=0	Beide Wurzeln sind negativ: -2 und -10
x² - 12·x + 35	=0	Beide Wurzeln sind positiv: +7 und +5
x² + 12·x + 37	=0	Es gibt keine reellen Wurzeln, weil das Quadrat der Hälfte von 12 36 ist, also kleiner als 37.
x² + 2·x - 35	=0	Die Wurzeln haben unterschiedliches Vorzeichen: -7 und +5

3 Verallgemeinerung (abstrakte Algebra)

Allgemein nennt man eine Gleichung der Form

x² + p·x + q = 0

mit Elementen p, q eines Körpers oder Rings eine quadratische Gleichung. In einem Körper und bestimmten Ringen (faktorielle Ringe) hat sie höchstens zwei Lösungen, in beliebigen Ringen kann sie mehr als zwei haben. Falls Lösungen in dem betrachteten Ring oder Körper existieren, dann erhält man sie gleichfalls mit der pq-Formel, wobei man allerdings alle möglichen Quadratwurzeln der Diskriminante berücksichtigen muss.

Z.B. hat die quadratische Gleichung

x² - 1 = 0

im Restklassenring Z/8Z die vier Lösungen 1, 3, 5, 7.

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